ঐকিক নিয়ম

আর, ২টি ডিমের দাম হবে এক হালির দামের অর্ধেক মানে ৩২ ÷ ২ = ১৬ টাকা। এবার, খুব সহজেই ২ হালির দামের সাথে এক হালির অর্ধেকের দাম যোগ করে ১০টি ডিমের দাম পাবে = ৬৪ + ১৬ = ৮০ টাকা।’

মিনার খুবই পছন্দ হলো দোকানদারের পদ্ধতি। কিন্তু তার মনে তবুও একটা প্রশ্ন ছিল।

তাহলে, ১টি ডিমের দাম হবে = ৩২ ÷ ৪ = ৮ টাকা

তাহলে, ৯টি ডিমের দাম
    = (২×৪ + ১)টি ডিমের দাম
    = ২ হালি ডিমের দাম + ১টি ডিমের দাম
    = ২×৩২ টাকা +৮ টাকা
    = ৬৪ টাকা + ৮ টাকা
    = ৭২ টাকা

এবার, মিনা একটা মজার ব্যাপার লক্ষ্য করল। ১টি ডিমের দাম জানা থাকলে আসলে কত হালি হচ্ছে এগুলো
কিছুই জানা দরকার হয় না। সরাসরি কতগুলো ডিম লাগবে সেই সংখ্যা দিয়ে গুণ করেই দামটা পাওয়া যায়।
যেমন, ৯টি ডিমের দাম = ৯ × ১টি ডিমের দাম = ৯ × ৮ টাকা = ৭২ টাকা

এবার একটা মজার কাজ আছে তোমার জন্য। নিচের ধাপ অনুসারে কাজগুলো করো এবং সমগ্র কাজের বিস্তারিত বর্ণনা খাতায়  লিখে ও ছবি এঁকে পরবর্তী ক্লাসে শিক্ষককে দেখাও।

• কোনো একটি মাসে তোমার বাড়িতে সবাই মিলে মোট কতটি ডিম খাওয়া হয়েছে সেটা হিসাব করো। প্রয়োজনে অভিভাবকের সহায়তা নাও।
• এবার তোমার এলাকার কোনো একটি দোকানে গিয়ে ডিমের ডজন কত দামে বিক্রি হয় তা জিজ্ঞেস করে জেনে নাও। তুমি কি খাতা-কলম ছাড়াই দোকানে দাঁড়িয়েই বের করতে পারবে ঐ মাসে ডিম কেনার জন্য তোমাদের কত খরচ হয়েছে ?
•  বাড়িতে ফিরে খাতা-কলম নিয়ে ছবির মাধ্যমে খরচের হিসাব করে দোকানে থাকা অবস্থায় তোমার হিসাব সঠিক ছিল কিনা নিশ্চিত করো।
• ঐ এক মাসের হিসাব থেকেই তোমার পরিবারে সারাবছরের ডিম কেনার জন্য কত টাকা খরচ হয় সেটা বের করো ?
• ডিমের দাম প্রতিমাসে একই না হলে সারাবছরের হিসাব করতে কী ধরনের সমস্যা হতে পারে বলে তুমি মনে করো ?

দেয়াল রং করি।

■ ৬ জন লোকে একটি দেয়াল রং করতে চায়।

এক্ষেত্রে ধরে নিতে হবে যে প্রতিটি লোকই একদিনে দেয়ালের একই পরিমাণ জায়গা রং করতে পারে। এবার, সারণি থেকে দেখে নাও কীভাবে ৬ জন লোকে সম্পূর্ণ দেয়ালটি রং করতে পারে।

অর্থাৎ, তারা ৯ দিনে সম্পূর্ণ দেয়ালটি রং করতে পারে।

   ■এবার, ভেবে দেখো তো সম্পূর্ণ দেয়ালটি রং করতে একজন লোকের কত সময় লাগবে?

বুঝতেই পারছ অনেক বেশি সময় লাগবে। কিন্তু ঠিক কতটা বেশি সময় লাগবে সেটা ছবিতেই দেখো।

সারণিতে দেখা যাচ্ছে মাত্র ১ জন লোক সম্পূর্ণ দেয়ালটি রং করছে তখন তাকে যখন ৬ জন লোকের কাজ একাই করতে হচ্ছে । তাই ৬ গুণ বেশি সময় লেগেছে। ফলে, সম্পূর্ণ দেয়ালটি ১ জন লোক রং করেছে = ৯ × ৬ দিনে বা ৫৪ দিনে।

এখানে ৬ জন লোক সম্পূর্ণ দেয়ালটি রং করতে যে সময় লাগে সেই সময়কে ৯ দ্বারা গুণ করে ১ জন লোকের জন্য প্রয়োজনীয় সময় নির্ণয় করা হয়েছে।

   ■ এখন যদি ৩ জন লোককে সম্পূর্ণ দেয়ালটি রং করতে বলা হয় তাহলে কত সময় লাগবে? 

অবশ্যই ১ জন লোকের চেয়ে কম সময় লাগবে। কিন্তু ঠিক কতটা কম সময় লাগবে সেটা ছবিতেই দেখো।

সারণিতে দেখা যাচ্ছে, ৩ জন লোক যখন সম্পূর্ণ দেয়ালটি রং করছে তখন ১ জনের কাজ ৩ জনে ভাগ করে নিয়েছে। তাই সময়ও লেগেছে ১ জন লোকের প্রয়োজনীয় সময়ের ৩ ভাগের ১ ভাগ।

 অর্থাৎ, ৩ জন লোকের সম্পূর্ণ দেয়ালটি রং করতে লাগে = দিন বা ১৮ দিন।

এখানে একজন লোকের সম্পূর্ণ দেয়ালটি রং করতে যে সময় লাগে সেই সময়কে ৫ দ্বারা ভাগ করে ৫ জন লোকের জন্য প্রয়োজনীয় সময় নির্ণয় করা হয়েছে।

খাদ্য সমস্যা

          ■একটি ছাত্রাবাসে ৫০ জন ছাত্রের জন্য ৪ দিনের খাদ্য মজুদ আছে। ঐ পরিমাণ খাদ্যে ২০ জন ছাত্রের কতদিন চলবে?

এক্ষেত্রে ধরে নিতে হবে যে প্রতিটি ছাত্র একদিনে একই পরিমাণ খাবার খেতে পারে। 

এবার, সারণি থেকে দেখে নাও কীভাবে ৫০ জন ছাত্র ছাত্রাবাসের মজুদ থাকা সব খাদ্য খেতে পারে।

এবার ভেবে দেখো তো ঐ পরিমাণ খাদ্য মাত্র একজন ছাত্র কয়দিনে খেতে পারবে।

সবার খাদ্য সে একাই খাবে কাজেই আরও অনেক বেশিদিন খেতে পারবে। কতদিন সেটা সারণিতে দেখে নাও।

অর্থাৎ, এই পরিমাণ খাদ্যে ১ জনের চলবে আরও ৫০ গুণ বেশি দিন।

তাহলে ১ জন ছাত্রের খাদ্য আছে = ৫০ x ৪ দিনের বা ২০০ দিনের।

 আবার, ঐ পরিমাণ খাদ্যে ২০ জন ছাত্রের আরও কম দিন চলবে।

খেয়াল করো ২০ জনকে আসলে একজনের মোট ২০০ দিনের খাদ্য খেতে হবে।

তাহলে, এবার সারণিতে ২০ জন ছাত্রের কতদিন চলবে সেটা বের করে খালিঘর (--) পূরণ করো।

একটু খেয়াল করলেই বুঝতে পারবে যে,

১ জন ছাত্রের যতদিন চলবে ২০ জন ছাত্রের চলবে তার ২০ ভাগের এক ভাগ। কারণ, এক্ষেত্রে ১ জনের খাদ্য ২০ জনে ভাগ করে খাবে।

তাহলে, ২০ জন ছাত্রের খাদ্য আছে   দিনের

একই পরিমাণ খাদ্যে ছাত্র সংখ্যা কমলে বেশি দিন চলে আর ছাত্র সংখ্যা বাড়লে কম দিন চলে।

এখন নিচের বাস্তব সমস্যাগুলি ছবির মাধ্যমে সমাধান করো।

১) ৭ কেজি চালের দাম ২৮০ টাকা হলে, ১৫ কেজি চালের দাম কত?

২) একটি ছাত্রাবাসে ৫০ জন ছাত্রের জন্য ১৫ দিনের খাদ্য মজুদ আছে। ঐ পরিমাণ খাদ্যে ২৫ জন ছাত্রের কতদিন চলবে?

৩) শফিক দৈনিক ১০ ঘণ্টা করে হেঁটে ১২ দিনে ৪৮০ কিমি অতিক্রম করে। দৈনিক ১০ ঘণ্টা করে হেঁটে সে কত দিনে ৩৬০ কিমি অতিক্রম করবে?

৪) ৬ জন লোক ২৮ দিনে কোনো জমির ফসল কাটতে পারে। ২৪ জন লোক কত দিনে ঐ জমির ফসল কাটতে পারে?

শতগ্রিডে শতকরা উপকরণ:

> প্রয়োজনীয় সংখ্যক A4 সাইজের কাগজ (প্রতিটিতে ১০০ ঘরের ছক বিশিষ্ট)

> প্রয়োজনীয় সংখ্যক ১-১০ পর্যন্ত লেখা ১০টি কাগজের ছোট টুকরা

>প্রয়োজনীয় সংখ্যক রং পেন্সিল (দুই রঙের)

  ■ আজ আমরা একটি মজার খেলা খেলব। খেলাটি খেলতে হবে জোড়ায় জোড়ায়।

  ■প্রতি জোড়ার জন্য নিচের ছবির মতো একটি করে এফোর সাইজের কাগজে ১০০ ঘরের ছক তৈরি করে নাও। প্রয়োজনে শিক্ষকের সাহায্য নাও।

■ জোড়ার দুইজন শিক্ষার্থীর হাতে দুই রঙের রং পেন্সিল নাও।

■ প্রতি জোড়ায় ১-১০ পর্যন্ত লেখা ১০টি কাগজের ছোট টুকরা তৈরি করো।

■এই ১০টি কাগজের টুকরা ভাঁজ করে দুইজনের মধ্যে লটারি করতে হবে। লটারিতে যে শিক্ষার্থী যে সংখ্যা পারে সে ছকের ততগুলো ঘর তার হাতের রং পেন্সিল দিয়ে ভরাট করবে।

 ■ তারপর আবার লটারি করো। এবারেও একইভাবে যার যার সংখ্যা অনুযায়ী হাতে থাকা রং পেন্সিল দিয়ে রং করো। এভাবে সবগুলো ঘর ভরাট হওয়া পর্যন্ত লটারির মাধ্যমে রং করতে থাকো।

■ খেলতে খেলতে ছকের শেষ পর্যায়ে গিয়ে যে কয়টি ঘর বাঁকি থাকে লটারির মাধ্যমে তাকে সেই সংখ্যাটিই পেতে হবে। তাহলেই সে রং পেন্সিল দিয়ে ভরাট করতে পারবে। প্রয়োজনীয় সংখ্যাটি না পেলে পুনরায় লটারি করতে হবে।

■এখানে মোট ১০০টি ঘর ছিল। তোমরা নিজের রং পেন্সিল দিয়ে ভরাট করা ঘরগুলো গণনা করে দেখো কে কতগুলো করে ঘর রং করতে পেরেছ?

■দুইজনের রং করা ঘরের যোগফল কিন্তু ১০০ হবে। অর্থাৎ ১০০টার মধ্যে কে কতগুলো রং করেছ তা বের করো।

■যে রঙের ঘর বেশি হবে সেই বিজয়ী হবে।

■ মোট ঘর ছিল ১০০টি। জোড়ার ১ম শিক্ষার্থী রং করতে পেরেছে ১০০ এর মধ্যে ৫৬টি, আর জোড়ার ২য় শিক্ষার্থী রং করতে পেরেছে ১০০ এর মধ্যে ৪৪টি।

■ ব্যাপারটা আমরা এভাবে লিখতে পারি—

■ জোড়ার ১ম শিক্ষার্থী রং করেছে ১০০ এর মধ্যে ৫৬টি বা  $\frac{৫৬}{১০০}$ অংশ বা ৫৬%

■ জোড়ার ২য় শিক্ষার্থী রং করেছে ১০০ এর মধ্যে ৪৪টি বা $\frac{৪৪}{১০০}$  অংশ বা ৪৪%।

■ ভাবছ এই  ℅  প্রতীকটা আবার কী?

■ এটা হচ্ছে শতকরার প্রতীক।

“শতকরা হলো এমন একটি ভগ্নাংশ যার হর ১০০' 

‘শতকরা” নামটা থেকেই বোঝা যাচ্ছে যে এটা শত বা ১০০ এর সাথে সম্পর্কিত।

উপরের উদাহরণ থেকে দেখা যায়, ভগ্নাংশের হর ১০০ করা হলে লবের মান থেকে জানা যায় ১০০ এর মধ্যে কত অংশ, আর সেটাই হলো শতকরা।

আবার, % চিহ্ন দ্বারা ১০০ এর মধ্যে ১ অংশ বা $\frac{১}{১০০}$বোঝানো হয়।  চিত্রে সবুজ রং দিয়ে % বা দেখানো হলো। আবার,  $১℅=\frac{১}{১০০}$কেও একই চিহ্ন দিয়ে বোঝানো যায়।

■ নিচের উদাহরণগুলো থেকে শতকরা প্রতীকের অর্থ ও ব্যবহার বুঝতে পারবে।

১) (ক) এখানে শতকরা কত অংশ সবুজ রং করা হয়েছে?

(খ) সবুজ রং করা আকৃতিটির নাম কী? তুমি কি আগে কখনো দেখেছ এমন আকৃতি?

 তোমার উত্তর : 

২) নিচের ছবিগুলোতে সম্পূর্ণ অংশের শতকরা কত অংশ সবুজ রং এবং কত অংশ লাল রং করা হয়েছে?

ক) সবুজ রং করা অংশ = 

লাল রং করা অংশ =

(খ) সবুজ রং করা আকৃতিটির নাম কী? তুমি কি আগে কখনো দেখেছ এমন আকৃতি?

তোমার উত্তর:

(গ)

তোমার উত্তর,

সবুজ রং করা অংশ =

লাল রং করা অংশ =

(ঘ)

তোমার উত্তর,

সবুজ রং করা অংশ =

লাল রং করা অংশ =

৩) নিচের ছবিতে দর্শকসারি বা গ্যালারির শতকরা কত অংশ দর্শকপূর্ণ আছে এবং শতকরা কত অংশ খালি আছে?

তোমার উত্তর,

দর্শকপূর্ণ অংশ =

খালি অংশ =

ভগ্নাংশ ও শতকরার সম্পর্ক

■ ছবির মতো করে ১০টি ঘরের আরেকটা ছক প্রত্যেকের খাতায় আঁকো।

■ এবার তোমরা এখান থেকে যেকোনো ৬টি ঘর সবুজ রং করো।

এখন আমরা কীভাবে  $\frac{৬}{১০}$কে শতকরায় প্রকাশ করতে পারি? 

সেক্ষেত্রে এর হর ১০০ বানাতে হবে। কীভাবে সম্ভব সেটা?

এবার ১০টি ঘরের প্রত্যেকটিকে ১০ ভাগে ভাগ করলে তুমি পাবে মোট ১০০টি ঘর।

এবার, চিত্র থেকে গুণে দেখো ১০০টি ঘরের মধ্যে মোট ৬০টি ঘর সবুজ রং করা আছে। তাহলে, ১০টি ঘরের ৬টি ঘর রং করা মানে হলো: $\frac{৬}{১০}$বা $\frac{৬০}{১০০}$ রং করা বা ৬০% রং করা।

লক্ষ করো, উপরের পদ্ধতিতে ১০টি ঘরের প্রত্যেকটিকে ১০ ভাগে ভাগ করা এবং সমতুল ভগ্নাংশের ধারণা অনুসারে লব ও হরকে ১০ দ্বারা গুণ করা কিন্তু একই কথা। 

সেক্ষেত্রেও আমরা একই ফলাফল পাই: $\frac{৬\times ১০}{১০\times ১০}$ $\frac{৬০}{১০০}=৬০\%$

আবার, ১০০টি ঘরের $\frac{৬}{১০}$ অংশ $=১০০\times \frac{৬}{১০}=১০\times ৬০$ = ৬ টি ঘর

এভাবেও আমরা  $\frac{৬}{১০}$ কে শতকরায় রূপান্তর করতে পারি।

এখন শতকরা সম্পর্কিত নিচের সমস্যাগুলো সমাধান করো।

১) নিচের ভগ্নাংশগুলো ছক কাগজে সবুজ রং করে শতকরায় প্রকাশ করো:

২) কোনো পরীক্ষায় মোট ৩০০ নম্বরের মধ্যে তুমি ২৪০ নম্বর পেয়েছ। তাহলে মোট নম্বরের শতকরা কত নম্বর পেলে?

৪)নিচের ছবিটিতে মেয়ে শিশুর ছবি সম্পূর্ণ ছবির কত অংশ?

৫) নিচের ছবিতে মোট আমের শতকরা কত অংশ কাঁচা আম?

বার মডেলে শতকরা

ছবিতে দেখানো স্কেল ব্যবহার করে বারগুলোর শতকরা কত অংশ সবুজ রং এবং শতকরা কত অংশ লাল রং করা আছে নির্ণয় করো:

চলো এখন একটা গল্প শুনি।

তিশার সিলেট ভ্রমণ

তিশা ২৫০০ টাকা নিয়ে খুলনা থেকে সিলেটে যাওয়ার বাসে উঠল। বাস ভাড়া দিতে হলো ৮০০ টাকা।

যাওয়ার পথে বাস থামলে তিশা কিছু খাবার কিনে খেলো।

সিলেট পৌঁছানোর পর সে দেখল তার মোট টাকার শতকরা ৮০ ভাগই খরচ হয়ে গেছে। এখন তুমি কি বলতে পারবে-

■ বাস ভাড়া তিশার কাছে থাকা মোট টাকার শতকরা কত অংশ?

■ তিশার মোট কত টাকা খরচ করেছে?

■ তিশার কাছে কত টাকা অবশিষ্ট ছিল?

■ তিশা কত টাকার খাবার খেয়েছিল?

■ খাবার খরচ মোট টাকার শতকরা কত অংশ?

■ খাবার খরচ মোট খরচের শতকরা অংশ?

দৈনন্দিন জীবনে আমরা প্রায়শই একই ধরনের দুইটি জিনিস তুলনা করে থাকি। যেমন ধরা যাক, নাবিলের উচ্চতা ১৫০ ও তার বোন নোভার উচ্চতা ১৪৩ সেমি। এখন কীভাবে তুমি দুইজনের উচ্চতার মধ্যে তুলনা করবে বলো তো? একটা উপায় হল বিয়োগ করে পার্থক্য বের করা। অর্থাৎ, নাবিলের উচ্চতা তার বোন নোভার চেয়ে (১৫০-১৪৩) সেমি বা ৭ সেমি বেশি। এবারে চলো একটি টিকটিকি ও একটি পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের তুলনা করি। মনে করো, টিকটিকির দৈর্ঘ্য ৮ সেমি এবং পিপড়ার দৈর্ঘ্য ১ সেমি। তাহলে এখানেও টিকটিকি ও পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের পার্থক্য (৮-১) সেমি বা ৭ সেমি।

এখানে দেখা যাচ্ছে, নাবিল ও নোভার উচ্চতার পার্থক্য এবং টিকটিকি পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের পার্থক্য একই। কিন্তু ‘নাবিল ও নোভার উচ্চতার পার্থক্য ৭ সেমি এই কথাটা থেকে তাদের উচ্চতার ব্যাপারে যে ধারণা পাওয়া যায়; 'টিকটিকি ও পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের পার্থক্য ৭ সেমি' এই কথাটা থেকে যদি তুমি একই ধারণা পাও, তাহলে সেটা কতটুকু সঠিক হবে? তুমিই চিন্তা করে দেখো।

এর চেয়ে বরং কয়টি পিপড়া পরপর বসিয়ে একটি টিকটিকির দৈর্ঘ্যের সমান হয় সেটা জানলে এক্ষেত্রে আরও ভালো ধারণা পাওয়া যাবে।

তুমি টিকটিকির দৈর্ঘ্যকে পিঁপড়ার দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করলে পাবে অর্থাৎ, ৮টি পিঁপড়া পরপর বসিয়ে একটি টিকটিকির দৈর্ঘ্যের সমান হয়।

আবার এভাবেও বলতে পারো, টিকটিকির দৈর্ঘ্য পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের ৮ গুণ বা, টিকটিকি দৈর্ঘ্যে পিঁপড়ার তুলনায় ৮ গুণ বড়।

ভাগের মাধ্যমে কতগুণে বড় বা কতগুণে ছোট সেই বিষয়ক তুলনাকে অনুপাত বলা হয়।

অনুপাতের গাণিতিক প্রতীক হলো ‘:’ চিহ্ন।

গাণিতিকভাবে লেখা হয়, টিকটিকি ও পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ৮ : ১

আবার, পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যকে টিকটিকির দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করলে পাবে: $\frac{১}{৮}$

অর্থাৎ, পিঁপড়ার দৈর্ঘ্য টিকটিকির দৈর্ঘ্যের ৮ ভাগের ১ ভাগের সমান। আবার এভাবেও বলতে পারো, পিঁপড়া দৈর্ঘ্যে টিকটিকির তুলনায় ৮ গুণ ছোট। 

গাণিতিকভাবে লেখা হয়, পিঁপড়া ও টিকটিকির দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ১ : ৮

কাজেই অনুপাত মূলত একটি ভগ্নাংশ। 

এই অনুপাত থেকে কী বোঝা যায় সেটা ছবি দেখে আরও ভালোভাবে বুঝতে পারবে।

চলো এবার অনুপাতের সাহায্যে বাস্তব সমস্যা সমাধান করি।

▪️শওকতের ভর ৩০ কেজি এবং তার পিতার ভর ৬০ কেজি। শওকতের ভর তার পিতার ভরের কতগুণ?

পিতা ও শওকতের ভরের অনুপাত হবে:

$=\frac{৬০}{৩০}$ 

=$\frac{২}{১}$ (লব ও হরকে ৩০ দ্বারা ভাগ করে)

= ২ : ১

এখানে, পিতার ভর শওকতের ভরের $\frac{২}{১}$ বা ২ গুণ।

তোমার শ্রেণির জন্য তথ্য সংগ্রহ করে নিচের খালিঘর পূরণ করো।

লাল কলম ও নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত এবং লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত কি একই?

হ্যা- 

না – 

এখন, ভেবে দেখো তো একটি শিশুর বয়সের সাথে অন্য একটি শিশুর ভর কি তুলনা করা যাবে? কখনোই না। তুলনার ক্ষেত্রে বিষয় দুইটি সমজাতীয় হতে হবে।

🔹আবার মনে করি, ভাইয়ের বয়স ৩ বছর ও বোনের বয়স ৬ মাস। তাদের বয়সের অনুপাত বের কত? 

এখানে, ভাইয়ের বয়সের সাথে বোনের বয়স এই সমজাতীয় দুটি রাশির তুলনা করা হচ্ছে। খেয়াল করো ভাইয়ের বয়স কিন্তু বোনের চেয়ে বেশি । অর্থাৎ, ভাই এখানে বোনের চেয়ে বড়।

এখন যদি এককের দিকে লক্ষ না করেই সরাসরি তুলনা করি তাহলে কী হবে বলতে পারো?

ভাই ও বোনের বয়সের অনুপাত হবে $=\frac{৩}{৬}=\frac{১}{২}=১:২$ তাহলে, ব্যাপারটা হবে অনেকটা এরকম যে ভাইয়ের বয়স বোনের বয়সের $\frac{১}{২}$ অংশ বা অর্ধেক। কিন্তু আসলে কী তাই? ভাইয়ের বয়স নিশ্চয়ই বোনের বয়স থেকে কম নয় আর ৩ বছর মোটেও ৬ মাসের অর্ধেক না। অবশ্যই হিসাবে কোনো একটা ভূল হচ্ছে।

 লক্ষ করো, পূর্বের সবগুলো ক্ষেত্রে আমরা একই এককবিশিষ্ট দুটি রাশির তুলনা করেছি তাই অনুপাতগুলো সঠিক ধারণা দিয়েছে।

এখানে বছর এবং মাস এই দুইটা একক নিয়ে তুলনা করাতেই আমরা সঠিক অনুপাত পাচ্ছি না। এক্ষেত্রে সমজাতীয় হলেও দুইজনের বয়স সরাসরি তুলনা করা যাবে না। তুলনার বিষয় দুইটি একই একক বিশিষ্ট হতে হবে। তাই দুইজনের বয়সকেই বছরে অথবা মাসে রূপান্তর করে নিতে হবে। আমরা এক্ষেত্রে ভাই ও বোন দুজনের বয়সই মাসে রূপান্তর করবো।

তাহলে, ভাইয়ের বয়স ৩ বছর = ৩৬ মাস ('.' ১ বছর = ১২ মাস) এবং বোনের বয়স ৬ মাস তাহলে, ভাই ও বোনের বয়সের অনুপাত :

  $\frac{৩৬}{৬}$ 

=$\frac{৬}{১}$ (লব ও হরকে ৬ দ্বারা ভাগ করে)

= ৬ : ১

মনে করো একটি শিশুর বয়স ৬ বছর এবং অন্য একটি শিশুর বয়স ৯ বছর ৬ মাস।

তাহলে শিশু দুইটির বয়সের অনুপাত কীভাবে নির্ণয় করবে?

আমরা জানি অনুপাত নির্ণয়ের জন্য দুইটি রাশিকেই একই একক হতে হবে। প্রথমে দুইটি শিশুর বয়সকেই মাসে রূপান্তর করো।

এবার অনুপাতের ধারণা অনুসারে নিচের সমস্যাগুলোর সমাধান করো:

১) নিচের সংখ্যাদ্বয়ের প্রথম রাশি ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত নির্ণয় করো:

(ক) ২৫ ও ৩৩৫

(খ) ১.২৫ ও ৭.৫

(গ) ১ বছর ২ মাস ও ৭ মাস 

(ঘ) ৭ কেজি ও ২ কেজি ৩০০ গ্রাম 

(ঙ) ২ টাকা ও ৪০ পয়সা 

২) তুমি ক্লাসে কতগুলো বই ও কতগুলো খাতা নিয়ে এসেছ তা গণনা করে নিচের কাজগুলো করো: 

ক) খাতা ও বইয়ের সংখ্যার অনুপাত নির্ণয় করো।

খ) খাতাগুলোর মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা এবং বইগুলোর মোট পৃষ্ঠাসংখ্যার অনুপাত নির্ণয় করো।

৩) স্কেলের সাহায্যে তোমার গণিত বইয়ের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ মেপে বের করো এবং এদের মধ্যকার অনুপাত নির্ণয় করো।

৪) তোমার শ্রেণিকক্ষ, বাড়িতে বা অন্য কোনো স্থানে ৩টি ভিন্ন ভিন্ন টেবিল খুঁজে বের করো। 

ক) প্রতিটি টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পরিমাপ করো এবং তাদের মধ্যকার অনুপাত নির্ণয় করো। 

খ) কোন টেবিলের ক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত সবচেয়ে বেশি তা নির্ণয় করো।

৫) তুমি কি এমন কোনো গল্প বা ঘটনা জানো যেখানে ‘অনুপাত” শব্দটা ব্যবহার করা হয়েছে? অথবা কোথাও কি ‘অনুপাত’ শব্দটি বা অনুপাত চিহ্ন : লেখা দেখেছ? এরকম কয়েকটি বাস্তব ঘটনা খুঁজে বের করো এবং কীভাবে খুঁজে পেলে বা কোথায় পেয়েছ তার ছবি অথবা বর্ণনা লিখে শিক্ষক ও তোমার সহপাঠীদেরকে বলো।

৬) তোমাদের চারপাশে বাস্তবে দেখেছ বা শুনেছ এমন কিছু উদাহরণ খুঁজে বের করো যেখানে একই রকম বা সমজাতীয় দুইটি রাশির মধ্যে তুলনা করা হয়েছে কিন্তু একক ভিন্ন ভিন্ন ছিল। তারপর কীভাবে ভিন্ন এককগুলোকে একই এককে রুপান্তর করা হলো তা লেখো।

সমতুল অনুপাত

রবির কাছে ৮টি মার্বেল এবং ডেভিডের কাছে ১২টি মার্বেল আছে।

তাহলে, রবি এবং ডেভিডের মার্বেল সংখ্যার অনুপাত = ৮ : ১২

এবার, রবি ও ডেভিড প্রতি প্যকেটে ২টি করে মার্বেল নিয়ে নিজেদের মার্বেলগুলো প্যাকেট করলো।

এখন, রবির কাছে মার্বেলের প্যাকেট আছে = $\frac{৮}{২}$= ৪টি

এবং, ডেভিডের কাছে মার্বেলের প্যাকেট আছে = $\frac{১২}{২}$ = ৬টি

তাহলে, এখন রবি এবং ডেভিডের মার্বেলের প্যাকেটের সংখ্যার অনুপাত = ৪ : ৬ যেহেতু, প্রতিটি মার্বেলের প্যাকেটেই সমান সংখ্যক মার্বেল আছে।

তাই, রবি এবং ডেভিডের মার্বেলের সংখ্যার অনুপাত হবে: ৮ : ১২।

এবার, রবি ও ডেভিড প্রতি প্যাকেটে ৪টি করে মার্বেল নিয়ে নিজেদের মার্বেলগুলো প্যাকেট করল।

এবং, ডেভিডের কাছে মার্বেলের প্যাকেট আছে = $\frac{১২}{৪}$  = ৩ টি

তাহলে, এখন রবি এবং ডেভিডের মার্বেলের প্যাকেটের সংখ্যার অনুপাত = ২ : ৩ 

এখন, তাই, রবি এবং ডেভিডের মার্বেলের সংখ্যার অনুপাত হবে: ৮ : ১২ $=\frac{৮}{১২}=২:৩$

তাহলে, দেখা যাচ্ছে যে, ৮ : ১২, ৪ : ৬ এবং ২ :৩ অনুপাতগুলোর মান আসলে একই এবং এদেরকে সমতুল অনুপাত বলা হয়। আর ২ : ৩ অনুপাতটি হচ্ছে অনুপাতের সরলীকৃত রূপ।

:- ২ : ৩ ও ৪ : ৬ সমতুল অনুপাত।

কোনো অনুপাতের অসংখ্য সমতুল অনুপাত রয়েছে। যেমন, ২:৩, ৪ : ৬ ও ৮ : ১২ সমতুল অনুপাত।

চলো এখন সমতুল ভগ্নাংশ নির্ণয় সম্পর্কিত নিচের সমস্যাটি সমাধান করি।

তাহলে, খালিঘরের সংখ্যাগুলো জানার জন্য আমরা সমতুল ভগ্নাংশ বা সমতুল অনুপাতের বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করতে পারি:

নিচের সমস্যাগুলো সমাধান করো :

১) নিচের অনুপাতগুলোকে সরলীকরণ করো

(ক) ৯ : ১২ (খ) ১৫ : ২১ (গ) ৪৫ ৩৬ (ঘ) ৬৫ : ২৬

২) নিচের সমতুল অনুপাতগুলোকে চিহ্নিত করো

১২ : ১৮; ৬ : ১৮; ১৫ : ১০; ৩ : ২; ৬ : ৯; ২ : ৩; ১ : ৩; ২ : ৬; ১২ : ৮

৩) কোনো একটি স্কুলে ৪৫০ জন ছেলে এবং ৫০০ জন মেয়ে আছে। স্কুলের ছেলে ও মেয়ের সংখ্যার অনুপাতকে সরলীকৃত আকারে লেখো।

৪) নিচের সমতুল অনুপাতগুলোর খালিঘর পূরণ করো